क्या पूर्णांक विभाजकों की संख्या के लिए कोई बंद सूत्र है?

परिभाषा। माना R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। सेट आर (या इसके उपसमुच्चय) पर एक बंद सूत्र एक परिमित है (तत्वों की संख्या तर्क के मूल्य पर निर्भर नहीं करती है) अंकगणितीय संचालन और प्राथमिक कार्यों का संयोजन और/या सुपरपोजिशन - शक्ति, घातांक, लघुगणक, त्रिकोणमिति, पूर्णांक/भिन्नात्मक भाग लेना, आदि।

कथन। मान लीजिए N सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। मान लीजिए कि d(n) N पर परिभाषित n के सभी विशिष्ट प्राकृतिक विभाजकों की संख्या का एक फलन है। सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं R+ = {x>0) के सेट पर कोई बंद सूत्र F(x) नहीं है, जैसे कि F(x) से N तक का प्रतिबंध d(n) के साथ मेल खाता हो।

यदि आप जानें कि दिया गया कथन पूरी तरह से सत्य है या गलत, कृपया प्रमाण के लिए एक लिंक प्रदान करें।

उत्तर नहीं है, इसलिए आवश्यकताओं को पूरा करने वाला एक बंद सूत्र मौजूद है। दरअसल, प्रुनेस्कु और सौरास-अल्टुज़रा ने दिखाया कि $d(n)$ के लिए एक बंद फॉर्मूला है जो बाइनरी ऑपरेशंस से बनाया गया है $$x+y,\qquad \max(x-y,0)=\frac{\sqrt{(x-y)^2}+x-y}{2},\qquad \lfloor x/y\rfloor,\qquad x^y .$$