समबाहु त्रिभुजों और वर्गों का उपयोग करके बहुभुज बनाना।

आपको कुछ समबाहु त्रिभुज और वर्ग दिए गए हैं, सभी की भुजा की लंबाई 1 है। आपको $n$ भुजा वाला एक उत्तल बहुभुज बनाना है, यदि वर्ग और समबाहु त्रिभुज दोनों का उपयोग करना है, तो $n$ के लिए सभी संभावित मूल्य क्या हैं? मान लें कि टुकड़ों की पर्याप्त आपूर्ति है।

उपरोक्त समस्या के लिए, मेरा विचार कुछ डायोफैंटाइन समीकरण का उपयोग करना है, जब एक समबाहु त्रिभुज और वर्ग मिलते हैं, तो वे 150 डिग्री का कोण बनाएंगे, भले ही 2 समबाहु त्रिभुज मिलते हों , वे 120 डिग्री का कोण बनाएंगे, इसलिए हमें 2 सूचनाएं मिलेंगी, मान लीजिए कि $x$ 120 डिग्री का कोण है, और $y$ 150 डिग्री का कोण है, तो सूचनाएं इस प्रकार हैं: $60x+30y=360$ (बाहरी कोण का योग) $180|120x+150y$ (आंतरिक कोण योग) इसके द्वारा मैंने सफलतापूर्वक $(x,y)=(0,12),(2,8),(3,6),(4,4)$ के लिए बहुभुज बनाया, लेकिन मैं बहुभुज बनाने में कामयाब नहीं हो पाया $(x,y)=(1,10),(5,2),(6,0)$ के लिए, और मैं यह भी साबित नहीं कर सकता कि हम उस मान का उपयोग करके बहुभुज नहीं बना सकते $(x,y)$. क्या कोई मेरी मदद करेगा? $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ for $i=1,..,n$ (हम मानते हैं कि $A_{-1}=A_{n}$ और $A_{n+1} = A_1$), फिर $$\sum_{i=1}^n \alpha_i =360°$$

$\alpha_i$ का संभावित मान $30°$(1 वर्ग, 1 त्रिकोण), $60°$ ( 2 त्रिकोण), $90°$ (1 वर्ग) या $120°$ (1 त्रिकोण), इन 4 कोणों के साथ शीर्ष की संख्या $x,y,z,t$ को दर्शाते हैं, तब: $$30x+60y+90z+120t = 360\iff x+2y+3z+4t=12\tag{1}$$ $(1)$ से, यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि $4\le n = x+y+z+t \le 12$।

वास्तव में संयोग से, मेरे पास कुछ चुंबकीय ब्लॉक हैं, यहां कुछ उत्तल बहुभुज हैं :). $n=4, 11$ को छोड़कर, $5$ से $12$ तक $n$ के सभी मान फोटो में हैं।



$n = 4$ के लिए, हमारे पास $(x) है ,y,z,t) = (0,2,0,2)$ तो किसी वर्ग का उपयोग नहीं किया जाता है। तो, $n$ $4$ नहीं हो सकता।

$n = 11$ के लिए, हम दिखाते हैं कि उत्तल बहुभुज का निर्माण करना संभव नहीं है यदि सभी किनारों की लंबाई बिल्कुल $1$ के बराबर हो (समाधान मौजूद हैं यदि कुछ पक्षों को दो इकाइयाँ होने की अनुमति है, @OscarLanzi का उत्तर देखें)। इसके विपरीत मान लीजिए, तो $(x,y,z,t) =(10,1,0,0)$.

शीर्ष कोण से मेल खाता है $\alpha = 60°$ दो से बनता है त्रिभुज, दूसरा शीर्ष $1$ त्रिभुज और $1$ वर्ग से बनता है। इसलिए, किनारों को बहुभुज बनाने की एक संभावना इस प्रकार है: $$...-\रंग{नीला}{S}-\रंग{लाल}{T}-\रंग{नीला}{S_3}-\रंग{लाल}{\mathbf{T_1}}-\रंग{लाल }{\mathbf{T_2}}-\color{blue}{S_1}-\color{red}{T_3}-\color{blue}{S_2}-...$$



आइए अध्ययन करें आंतरिक-बहुभुज।

बाहरी-उत्तल-बहुभुज को आंतरिक-बहुभुज के आधार पर अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। लेकिन हम केवल एक दशमांश प्राप्त कर सकते हैं (जैसा कि पहली तस्वीर के बाईं ओर है)। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी किनारों का एक षट्कोण बनाना संभव नहीं है जिसकी लंबाई बिल्कुल $1$ के बराबर हो।

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि:

यदि सभी भुजाएँ इकाई लंबाई की हैं, तो $n$ $\{5,6,7,8,9,10,12\}$ में मान प्राप्त कर सकते हैं।

यदि दो या अधिक लंबाई की भुजाओं की अनुमति है, तो $n$ $11$ भी हो सकता है।< br>
यदि हम पक्षों का निर्माण करते हैं दो या दो से अधिक इकाइयाँ (इसकी अनुमति है या नहीं, इसके बारे में अलग-अलग व्याख्याएँ हैं), हम वास्तव में एक षट्कोण प्रस्तुत कर सकते हैं:



बाहरी सीमा के साथ वर्गों के जोड़े को एक साथ रखकर हम परिधि 13 बनाते हैं लेकिन दो पक्षों में एक के बजाय दो इकाइयां होने से स्पष्ट विरोधाभास दूर हो जाता है।

यदि $n$ सम (4 से अधिक) है, तो हम $\frac{n-4}{2} के साथ एक रेखा बना सकते हैं $ वर्ग, और प्रत्येक छोर पर एक त्रिकोण जोड़ें यह पंक्ति।

और यदि $n$ विषम है, तो हम $\frac{n-3}{2}$ वर्गों के साथ एक रेखा बना सकते हैं, और इस रेखा के एक छोर पर एक त्रिकोण जोड़ सकते हैं।