यदि दो गुरुत्वाकर्षण खिंचाव एक साथ कार्य कर रहे हों तो आप समय फैलाव की गणना कैसे करेंगे?

मैं सोच रहा था कि यदि दो द्रव्यमान एक साथ आप पर कार्य कर रहे हों तो आप समय फैलाव की गणना कैसे करेंगे। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि मैं पृथ्वी और प्लैनेटबी के बीच समय के फैलाव की गणना करना चाहता था (मैंने इसे अभी बनाया है) लेकिन प्लैनेटबी वास्तव में एक ब्लैक होल के करीब था जिसका गुरुत्वाकर्षण उस पर कार्य कर रहा था। समय फैलाव का पता लगाने के लिए मैं ब्लैक होल के गुरुत्वाकर्षण और प्लैनेटबी के गुरुत्वाकर्षण को कैसे जोड़ूंगा। (वेग से समय फैलाव को नजरअंदाज करते हुए)

जैसा कि यह पता चला है, ऐसा करना बहुत मुश्किल है।

इसका कारण यह है कि सामान्य सापेक्षता के प्रमुख समीकरण - आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण - हैं अत्यधिक अरेखीय. इसका मतलब यह है कि अगर मेरे पास इसके दो समाधान हैं (उदाहरण के लिए प्लैनेटबी के लिए समाधान और संबंधित ब्लैक होल के लिए समाधान), तो उन्हें एक साथ जोड़ने से दूसरा समाधान नहीं मिलता है। कमजोर-क्षेत्र के मामले में, जहां तक ​​न्यूट्रॉन स्टार या ऐसी किसी भी कम-तीव्र चीज की बात है, तो आप क्षेत्रों को रैखिक तरीके से अनुमानित कर सकते हैं ताकि आप एक अच्छा अनुमान प्राप्त कर सकें कि चीजें क्या होनी चाहिए; ब्लैक होल के लिए, हालांकि, यह संभव नहीं है, क्योंकि ऐसे मामलों में रैखिक सन्निकटन विफल हो जाता है।

दो ग्रहों के लिए, गुरुत्वाकर्षण लगभग रैखिक है, इसलिए समय का फैलाव बस होगा

$$\ sqrt{1-\frac{2G}{c^2}\left(\frac{M_1}{r_1}+\frac{M_2}{r_2}\right)}$$

के द्रव्यमान के लिए और दूरी ग्रह $i$ का क्रमशः $M_i$ और $r_i$ होना। यदि आप एक ब्लैक होल और एक ग्रह के बारे में बात कर रहे हैं जो इतना करीब से परिक्रमा कर रहा है कि यह मायने रखता है, तो गुरुत्वाकर्षण समय का फैलाव बहुत अलग होगा; इसे निर्धारित करने के लिए ऐसे रूप के दो-बॉडी वैक्यूम समाधान की पहचान करने की आवश्यकता होगी, जो मेरी जानकारी के अनुसार अभी तक पूरा नहीं हुआ है।